Dice
el teorema: «Para todo número primo, es posible
inducir algún otro primo a partir del primero». La
demostración viene dada como sigue:
7=2·3+1 se
efectúa el producto de los dos primeros primos y se suma 1.
Por
este argumento, 7 se observa que no es divisible ni de 2,
ni de 3. Entonces, es un número con algún factor
primo distinto de 2 ó 3, pues el teorema
fundamental de la Aritmética [«todo número
natural o bien es un producto de primos, o bien es un primo»]
implica esto. Naturalmente, 7 es primo y el factor primo
distinto de 2 ó 3 resulta ser 7.
Aplicando las propiedades expuestas, se generaliza el procedimiento:
q=2·3·5·...·pj-1·pj+1 es
el producto de una secuencia de primos dada y se suma 1.
Porque
se ha sumado 1, q no es divisible por ninguno de los
primos de la secuencia. Entonces, q es un número con
algún factor primo distinto de cualquiera en la secuencia,
según el teorema fundamental de la Aritmética.
Puede ser q un primo en sí. De cualquier forma, siempre
es posible inducir a un primo distinto de los ya conocidos por
medio de este procedimiento. O en otras palabras, dado un primo pj,
siempre es posible deducir la existencia de algún otro primo
pj+1
inducido.
∎
11
de Enero de 2013
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