GÖDEL

 

·

Feliz cumpleaños, Gödel,

porque sabiendo y, vivo,

pensando así, cautivo

do en forma tan creativa

pudiste a las razones

tener cuan recursivo;

porque soñando, esquivo,

te fiases de tu diva,

domando a ti intuiciones;

y todo aquello exhibo

lejano, y lo percibo

debido a que invasiva,

pensando en tus pasiones,

y axiomas, y elusivo

lo tanto que concibo,

remito en la misiva

perfidia en ilusiones

que indecidible cribo

y a tono, permisivo,

te dono en vía masiva.

27 de Abril de 2015

Nota:  La ö se lee intentando

pronunciar "o" y "u" a la vez.

 

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

«Yo, Joseph Raphson de Londres, admito y acuerdo para y con el Presidente, el Consejo y los miembros de la Real Sociedad de Londres la mejora del conocimiento sobre la Naturaleza»

·

Sea una función f(x) continua en todos sus puntos. Se busca de ella el valor de la raíz x = a, es decir, que se cumpla f(a) = 0.

Siendo para g(x) = x-a que g(a) = 0, es posible expresar lo siguiente:

1. lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x), por la regla de L'Hôpital (Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015) en virtud de que f(a) = 0, g(a) = 0 y tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

2. lím_x→a f(x)/(x-a) = lím_x→a f_x(x), porque g_x(x) = 1.

3. f(a+δ)/[(a+δ)-a]-ε = f_x(a+δ)-ε', calculando los límites representados en 2. [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]

4. f(x_k)/(x_k-x_k+1)-ε = f_x(x_k)-ε', si se representa x_k = a+δ y x_k+1 = a, estando x_k “antes” que x_k+1, de forma convencional.

5. x_k+1 = x_k-f(x_k)/[f_x(x_k)+ε-ε'], se deduce de la expresión en 4., observando dependiente x_k+1 de x_k.

6. x_k+1 = x_k-f(x_k)/f_x(x_k), porque aritméticamente nada impide que ε y ε' sean iguales con algún valor δ.

Esta última expresión indica la posibilidad de calcular un valor x_k+1 = a partiendo de otro x_k = a+δ distinto al primero. Sin embargo, se desconoce cuál sea el valor x_k que dirija inmediatamente el cálculo hacia x_k+1 = a, la raíz de f(x).

Por tal motivo se sugiere que siendo x_k+1 ≠ a, éste sea considerado como un nuevo x_k pretendiendo calcular finalmente x_k+1 = a.

Esto porque al existir el caso donde x_k permite calcular de forma inmediata x_k+1, se observaría la misma tendencia entre cualesquiera x_k y x_k+1 previos que no presentaran dicha característica, donde |x_k+1-a| sea menor que |x_k-a|, de manera sucesiva hasta que finalmente |x_k+1-a| = 0, el menor valor posible.

Ello es una suposición, no obstante, de ser cierta terminaría por garantizar que se logre observar el caso donde efectivamente x_k+1 = a. En otras palabras, porque la sugerencia permite obtener como conclusión la validez en la expresión en 6, es considerada también válida. Y porque existen pruebas sobre la veracidad de la suposición, se asumirá en adelante que es cierta en todos los casos, aunque existe la posibilidad de demostrar en qué casos no sea así, o bien, que efectivamente la sugerencia sea correcta en todos los casos donde f(x) sea continua en todos sus puntos.

Resumiendo: es posible calcular la raíz de una función f(x) continua en todos sus puntos, valiéndose de la expresión en 6., partiendo de un x₀ que permita calcular un x₁, luego de éste un x₂, y así sucesivamente hasta un x_k+1 = a, que sería la raíz buscada puesto que f(a) = 0. Esta secuencia de pasos es conocida como el método de Newton-Raphson.

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Por ejemplo, se calculará el número π hallando una de las raíces de la función f(x) = sen(x), porque se sabe que sen(π) = 0. Así,

1. x_k+1 = x_k-sen(x_k)/cos(x_k), retomando la expresión en 6., siendo la derivada f_x(x) = cos(x) [La derivada de las funciones seno y coseno, 1 de Febrero de 2015]

2. x_k+1 = x_k-tan(x_k), porque la función tangente está dada convencionalmente como tan(x) = sen(x)/cos(x).

Se partirá de un valor x₀ = 3 para calcular x₁. Así se selecciona de entre la gran variedad de números reales porque se conoce de antemano que π ronda un valor aproximado de 3. Si se eligiera x₀ = 6, el resultado final sería otro, es decir, 2·π.

Esto porque la derivada es un límite que sólo describe el comportamiento de la función f(x) entorno a x por medio de x+h, y mientras h sea cada vez mayor (no cumpliéndose que h→0), la función será descrita deficientemente. [El teorema fundamental del Análisis, 16 de Julio de 2014]. Para el caso, la diferencia entre π (que se conoce aproximadamente como 3.14) y 6 es mucho mayor que la diferencia entre π y 3, y por ello es que x₀ = 3 permite calcular π, no así x₀ = 6.

3. x₁ = x₀-tan(x₀), o bien, x₁ = 3-tan(3) y queda x₁ = 3.14255. Nótese que inicialmente se ha calculado la primera aproximación dada de π como 3.14; sin embargo, no es el valor de la raíz buscada porque sen(3.14255) = -0.00095. Entonces se sigue con

4. x₂ = x₁-tan(x₁), o bien, x₂ = 3.14255-tan(3.14255) y queda calculado el valor x₁ = 3.14159. Porque sen(3.14159) = 0.00000, se dice encontrada la raíz siendo π = 3.14159.

Aquello es sólo de una estimación a 5 dígitos. Con 6 cifras decimales sen(3.14159) = 0.000003, lo cual muestra que el cálculo no es fundamentalmente correcto. Aun así es un valor aproximado aceptable siempre que se requiera conocer únicamente 5 cifras del número π.

Además, este ejemplo evidencia que la naturaleza del método es tal como se predijo.

Del 2 al 7 de Febrero de 2015

A las 00.05

LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.

Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+lím_h→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

+lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·0+1·lím_h→0 cos(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = lím_h→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.

∎

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Teorema 2. La derivada de la función coseno

es el recíproco aditivo de la función seno.

Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-lím_h→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

 -lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·0-1·lím_h→0 sen(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = -lím_h→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.

∎

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Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0.

Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = lím_h→0 -sen(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.

∎

·

Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple lím_h→0 sen(h)/h = 1.

Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 sen(h)/h = lím_h→0 cos(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.

∎

1 de Febrero de 2015,

a las 19.28

 

 

REGLA DE L'HÔPITAL. DEMOSTRACIÓN

Johannes Bernoulli, demostrador

de la regla de L'Hôpital

Teorema. Sean dos funciones f y g continuas

en todos sus puntos, tales que f(a)=0 y g(a)=0.

Entonces

lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x)

se cumple (Regla de L'Hôpital)

·

Demostración:

1. f_x(x)/g_x(x) = {lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{lím_h→0 [g(x+h)-g(x)]/h}, por la definición de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo), 16 de Julio de 2014],

2. f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 {[f(x+h)-f(x)]/h}/{[g(x+h)-g(x)]/h}; porque el cociente de límites es igual al límite del cociente [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

3. f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], efectuando el cociente, simplificando.

4. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], representando el cálculo del límite cuando x→a.

5. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 lím_x→a [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], porque se cumple la igualdad

lím_x→a lím _y→b f(x,y) = lím_y→b lím _x→a f(x,y),

[La derivada de la función exponencial del límite «e»,

27 de Noviembre de 2014; Teorema 3]

6. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 [f(a+h)-f(a)]/[g(a+h)-g(a)], siempre y cuando existan f(a) y f(a+h), lo mismo que g(a) y g(a+h), no importando el valor de h, situación que se garantiza cuando tanto f como g son continuas en todos sus puntos, de acuerdo a la definición de continuidad [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 f(a+h)/g(a+h), si es que f(a)=0 y g(a)=0 (segunda parte de la condición en la regla de L'Hôpital).

8. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 lím_x→a f(x+h)/g(x+h), que es posible porque tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

9. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a lím_h→0 f(x+h)/g(x+h), por lo mencionado en 5.

10. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a f(x)/g(x), nuevamente porque f y g son continuas en todos sus puntos. O,

11. lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x), que es la regla de L'Hôpital,

sin olvidar las especificaciones necesarias dadas en 6 y 7.

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Para finalizar, un ejemplo. Se calculará lím_x→2 (x²-4)/(x-2) de forma independiente a la regla de L'Hôpital y posteriormente haciendo uso de ella, obsérvandose que es realmente válida.

1. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 (x+2)·(x-2)/(x-2), factorizando el numerador.

2. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 (x+2), efectuando el cociente.

3. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 4, porque la función x+2 es continua en todos sus puntos, puede solamente sustituirse x por 2; y queda calculado el límite, independientemente de la regla de L'Hôpital.

Aparte, se calculará el mismo límite considerando la regla.

Nótese que f(x) = x²-4, g(x) = x-2, siendo ambas continuas en todos sus puntos (pueden calcularse f, g, y los límites respectivos para cualquier valor de x, además de que los límites son iguales a los valores f y g). Asimismo, f(2) = 0, g(2) = 0, y con lo anterior indica que es posible emplear la regla de L'Hôpital. Entonces

1. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 2·x/1, porque f_x(x)=2·x y g_x(x)=1, como lo requiere la regla.

2. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 2·x, simplificando, y lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 2·2, sustituyendo x por 2 dado que 2·x es continua en todos sus puntos. Finalmente,

3. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 4, que es idéntico al valor calculado previamente.

1 de Febrero de 2015,

de las 12.51 a las 13.42