Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 22 de diciembre de 2012

EL PRINCIPIO DE CIENTIFICIDAD [PC]. DE LA CIENCIA FORMAL


Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

PARTE I. TEOREMAS CIENTÍFICOS.

Téngase la siguiente hipótesis:

Los fenómenos al ser conocidos con mucho detalle pueden adquirir carácter aritmético.
Conocer al fenómeno implica hallar ciertos principios (axiomas). Luego con estos se verifican teoremas. Esto es la aritmética, hallar teoremas a partir de los axiomas.

Especifíquese mejor la hipótesis:

Al tenerse los principios (axiomas) de cierto fenómeno, se tiene cierta aritmética.
La aritmética es hallar teoremas a partir de los principios. Considerando la tesis todo sistema a partir de cierto fenómeno es consistente, se tiene que todo principio es verdadero. Debe tenerse atención: el principio no es una expresión cualquiera para plantear el fenómeno sino la expresión que muestre (describa) con exactitud al fenómeno. Esto es, de los principios que permiten deducir teoremas indecidibles u obtener contradicciones (ambas situaciones son equivalentes considerando el primer caso con alguno de los principios indecidible y el otro con todos los principios verdaderos), entonces puede que algún principio sea indecidible (como se dijo del primer caso) o que algún principio sea en realidad falso (y que se requiera plantear otro principio). Dicho sea que la veracidad se verifica con que el teorema obtenido describa al fenómeno.

Simbólicamente quedan las proposiciones científicas:

∀pf→↔OpfΦ→ΦΨ

donde Φ es el axioma y Ψ el teorema; Opf dice p es el principio de f (el fenómeno). Este es el principio de cientificidad. Este principio es metacientífico, es decir, no corresponde al ámbito de la ciencia sino de la Matemática y, en estricto sentido, de la Lógica. El trabajo científico (y del científico) radica en verificar Opf, esto es, que realmente se tenga el principio del fenómeno. Si se cumple esto inmediatamente se asume un axioma Φ que es la formalización del principio. Por lo tanto, según la Lógica, la descripción del fenómeno constituye el modelo de Φ, donde el experimento permite tener una valoración del axioma en el modelo. Un modelo, por ejemplo, es enunciar se corta finamente en varias partes y el axioma queda como dx con x valorizable. En otras palabras, una valoración para x puede ser aquello a lo cual se va a cortar finamente en varias partes, por ejemplo, volúmenes, masas, cargas eléctricas, etc.

PARTE II. EL MÉTODO CIENTÍFICO.

Se verifica que Opf es verdadero, luego, necesariamente se tiene Φ, el axioma. Aparte se verifica que Oqf es verdadero. Luego se tiene Ψ, el teorema a partir de Oqf. Pero →ΦΨ es falso, así como →ΨΦ falso o indecidible para la misma valoración y el mismo modelo.

Se halla un Ψ' verificado verdadero por Orf. Se toma Ψ' como otro teorema. Si →ΦΨ' es verdadero, entonces Ψ es falso. Si →ΨΨ' es verdadero o →Ψ'Ψ, entonces Φ es falso. Todo nuevamente para la misma valoración y el mismo modelo. Es por eso que se debe probar la veracidad por medio de los modelos que proponen todas las sentencias sean axiomas o teoremas. Se admite útil y relevante al modelo que tiene como verdaderas a la mayoría de las sentencias bajo la misma valoración.

Este algoritmo permite que con todas las proposiciones verdaderas posibles se establezca un sistema formal a partir del fenómeno. El algoritmo es conocido como método científico.

PARTE III. INDEPENDENCIA

∃pf→↔OpfΦΛ¬ΦΨ es un teorema del principio de cientificidad. Aparte se tiene el teorema, ∃pf→↔OpfΦΛΦΨ. Ambos dicen que se puede tener el teorema de manera arbitraria a la veracidad de algún principio, es decir, que existen teoremas independientes de ciertos principios.
 
Esto es inherente de cualquier fenómeno. El que se tenga la posibilidad de la aritmética, o bien, de inferir teoremas, permite esta independencia entre los teoremas y ciertos axiomas (o cierto axioma). Por lo tanto, en cualquier análisis científico, es posible desligarse de ciertos principios y por lo tanto los fenómenos no necesariamente van ligados unos con otros por todos los principios verdaderos sino que pueden ser sólo algunos.

Esto implica que la ciencia en su conjunto está desligada en algún aspecto en sí misma como consecuencia de su propa capacidad de análisis. Cabría cuestionarse que tipo de aspectos son aquellos donde los fenómenos se desligan los unos de los otros en la ciencia tal y como se ha definido aquí. Esto posiblemente sea sugerido por la estructura lógica que se ha propuesto.


22 de Diciembre de 2011

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