Teorema:
los únicos enteros cuya suma y producto enteros son iguales,
son el 0 y el 4.
Se
tiene la diofantina sugerida por el teorema como sigue:
a0+a=a0·a
Se
procede a darle una forma cuadrática a la expresión
presentada y posteriormente se consigue deducir lo pretendido por
medio de un resultado inductivo. Téngase entonces la siguiente
definición de z:
a=a0+z
Sustituyendo
en a esta forma, se puede caracterizar la diofantina como
sigue:
a02+(z-2)·a0-z=0
Según
la resolución general para las cuadráticas y algunas
simplificaciones, esto tiene como soluciones evidentes las
siguientes:
a0=-½·[z-2+(z2+4)½]
ó
a0=-½·[z-2-(z2+4)½]
Entonces,
a partir de cualquier número z definitorio de la
diofantina se pueden determinar las soluciones de cualquier tipo.
Buscando las soluciones enteras, se consigue averiguar el hecho de
que el término z+(z2+4)½
o el término z-(z2+4)½
deben ser pares en ese caso, en virtud de las características
de las soluciones. Supóngase entonces la existencia de un
número par 2·z'
(donde z' es impar) que caracterice a cualquiera de las expresiones
expuestas, esto es:
2·z'=z+(z2+4)½
ó
2·z'=z-(z2+4)½
La
representación del par supuesto conlleva a develar ciertas
propiedades de z.
Hallando la expresión de esta variables en términos de
z', se tiene:
z=2·(z'2-1)
Nótese
que el resultado es válido para ambas soluciones de a0.
De este resultado se obtienen dos conclusiones: 1) z es par y 2)
existe un termino [(z'2-1)2+1]½
que debe ser entero. Ésta última se deduce de sustituir
el valor de z en las soluciones de a0. Sea
pues:
a0=2-z'2+2·[(z'2-1)2+1]½
ó
a0=2-z'2-2·[(z'2-1)2+1]½
Efectivamente,
la conclusión 2 es acertada. Nuevamente, se supone la
existencia de tal entero z''. O bien, z''=[(z'2-1)2+1]½.
Esta última hipótesis lleva a translucir la forma
z'2-1=(z''2-1)½,
donde a sabiendas de que z' es un entero se puede entender que
la equivalencia para la raíz también lo sea. Sólo
un entero cumple este requerimiento, es decir, el de ser un cuadrado
diferenciado de otro cuadrado por la unidad y es el 0, que se
diferencia por la unidad del otro cuadrado que es el 1. Esto
parece evidente, pero resultará fuerte para la deducción
si se demuestra:
z'2-(z'-z'')2=f definiendo
la diferencia f entre cuadrados dados.
2·z'·z''-z''2=f desarrollando
el binomio cuadrado y simplificando.
Y
la diferencia f entre cuadrados no tiene en ningún
sentido relación con el 1 de la descripción
requerida, salvo que z'=1 y z''=1. Esto último
se observa de que la igualdad 2·z'·z''-z''2=1
se puede traducir en la equivalencia z''=z'. Luego queda que
z'2=1 (de la definición de f)
y finalmente se desarrollan los números conocidos z'' y
z'. Así, z=0 y las soluciones de a0
y a permiten evaluar sus sumas y productos equivalentes con
valores de 0 o 4.
∎
18
de Junio de 2012
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