Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 20 de diciembre de 2012

TEOREMAS DE INDECIDIBILIDAD. EL TEOREMA DE GÖDEL

[El siguiente texto contiene la demostración formal e inductiva que fue obtenida en primer lugar que las presentes en este blog. Una demostración que contiene los conceptos de Alfred Tarski que facilitan la resolución de las conclusiones de Gödel. Una demostración que simplifica las dadas por Henkin, Boolos y el mismo Gödel, pues resulta más accesible, admisible, el hecho intuitivo de la indecidibilidad. Aun así, las sentencias indecidibles siguen sin ser demostrables verdaderas o falsas.]

Se sugiere un sistema formal [SF] donde cada relator, funtor y constante que presenta tiene asociado uno y sólo un objeto dado un modelo [M] de valoraciones conocidas. Se asume a SF consistente.

En el planteamiento de este sistema formal, SF incluye la sentencia A:

Sentencia A. Todo modelo se relaciona.

iFYiMF donde Yij representa cualquier relación lógicamente válida y MF dice el objeto asociado a la sentencia F dado el modelo M.

Cabe aclararse que F es una sentencia cualquiera, incluyendo las de SF, y el objeto MF se refiere a aquel conformado por objetos presentes en el universo del modelo M en cuestión, asociados ya sea a sus relatores, o a sus funtores, o a las constantes. En este punto del análisis se puede estudiar el fenómeno inductivo presente: cuando se establece una sentencia A1 cuyo objeto presente en el universo del modelo se halle determinado, esta sentencia induce a una sentencia A2 (según SF lo admite como otra F) cuyo objeto correspondiente se puede determinar y que nuevamente induce a otra A3 y sucesivamente se puede obtener una An. Si se detiene la obtención inducida de objetos presentes en el universo del modelo, la sentencia An carece de un objeto como tales. Esto es una demostración del siguiente:

Teorema I. Si se relacionan los objetos presentes en el universo de un modelo dado, asociados estos a las sentencias de un sistema formal consistente, existe al menos una de estas sentencias que necesariamente carezca de un objeto asociado y presente en el universo mencionado.

Esto en virtud de la Definición 1 [El teorema fundamental de la Lógica, 31 de Marzo de 2012; 20 de Diciembre de 2012 en este blog], sobre la verdad de una sentencia, que permite decidir la veracidad (o deducir el carácter de verdadero o falso) de la misma, implica identificar el:

Teorema II. En un sistema formal consistente, la veracidad de alguna de sus sentencias (efectivamente verdaderas) es necesariamente indecidible.

Si no se tiene el objeto asociado que pertenezca al universo del modelo dado, no se puede observar que la sentencia (del tipo A) sea verdadera o falsa dado que las valoraciones no caben dentro de su análisis. Como el sistema formal se sabe consistente, la sentencia es, en efecto, verdadera, pero esto, porque carece de objeto asociado, no posible decidirlo a partir de alguna demostración en el mismo sistema formal. Esto es el teorema de Gödel. Por supuesto, el Teorema fundamental de la Lógica permitiría decidirlo solamente deduciendo todos los teorema posibles y hallando que no se tengan contradicciones, pero la cantidad de teoremas posibles es incalculable: cada teorema deducido implica uno más al menos. De allí que la única forma factible para decidir la veracidad de una sentencia sea a través de su objeto asociado. También, según se obtiene del Teorema fundamental de la Lógica, el sistema puede que deduzca sentencias verdaderas y no sus negaciones y aún así habrá alguno del cual se desconozca realmente si no es deducible su negación; esto último fue descubierto por George Boolos [1989] en su demostración por medio de algoritmos.

La demostración de Gödel mediante recursivas emplea a los números como objetos asociados a las sentencias del propio sistema formal que los estudia, la Matemática. En el caso presente, las sentencias del tipo A funcionan como las recursivas de Gödel y se logra, como en la demostración numérica, obtener que alguna sentencia tenga su objeto asociado indeterminado.

Partiendo del Teorema II se obtiene la segunda conclusión de Gödel, esto es:

Teorema III. Ningún sistema formal consistente puede deducir su propia consistencia.

También se puede expresar, que ningún sistema formal consistente tiene como teorema su propia consistencia. Esto se nota considerando la indecidibilidad de la sentencia a la cual se refiere el Teorema II. Si el sistema se observa que es consistente y se dedujo que presenta al menos un teorema indecidible, entonces el hecho de que el mismo sistema pudiere deducir su consistencia en forma de un teorema no es posible, porque contradiría al Teorema II y en consecuencia, el hecho de que el sistema es consistente. Como la aseveración de la consistencia del sistema formal es verdadera pero no se puede deducir por lo estipulado en el Teorema III, se asume que es la misma una sentencia de las que el Teorema II propone indecidibles. Nótese que de no asociársele a la aseveración de la consistencia del sistema formal un objeto dado el modelo que permite valorar dicha consistencia, entonces sí podría ser deducible para cualquier sistema formal consistente pero quedaría indecidible como señala el Teorema I.

1 de Abril de 2012
 
 

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