Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 11 de enero de 2013

EL TEOREMA DE EUCLIDES


Dice el teorema: «Para todo número primo, es posible inducir algún otro primo a partir del primero». La demostración viene dada como sigue:

7=2·3+1 se efectúa el producto de los dos primeros primos y se suma 1.

Por este argumento, 7 se observa que no es divisible ni de 2, ni de 3. Entonces, es un número con algún factor primo distinto de 2 ó 3, pues el teorema fundamental de la Aritmética [«todo número natural o bien es un producto de primos, o bien es un primo»] implica esto. Naturalmente, 7 es primo y el factor primo distinto de 2 ó 3 resulta ser 7. Aplicando las propiedades expuestas, se generaliza el procedimiento:

q=2·3·5·...·pj-1·pj+1 es el producto de una secuencia de primos dada y se suma 1.

Porque se ha sumado 1, q no es divisible por ninguno de los primos de la secuencia. Entonces, q es un número con algún factor primo distinto de cualquiera en la secuencia, según el teorema fundamental de la Aritmética. Puede ser q un primo en sí. De cualquier forma, siempre es posible inducir a un primo distinto de los ya conocidos por medio de este procedimiento. O en otras palabras, dado un primo pj, siempre es posible deducir la existencia de algún otro primo pj+1 inducido.


11 de Enero de 2013

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