TÉCNICA APROPIADA PARA EL LAVADO DE MANOS

La siguiente es una adaptación (en redacción, que no en método) de la técnica estandarizada para el lavado no hospitalario y rutinario de las manos.

1. MOJAR las manos con agua.

2. ENJABONAR las manos y las muñecas con jabón suficiente.
 

3. FROTAR:
 

        * las PALMAS entre sí,

        * la PALMA de una mano contra el DORSO de la mano opuesta,

           y viceversa,
 

        * las PALMAS ENTRELAZANDO LOS DEDOS,

        * el DORSO DE LOS DEDOS de una mano contra la PALMA de la mano
           opuesta, y viceversa,

        * ROTANDO, el PULGAR de una mano contra la PALMA de la mano
           opuesta, y viceversa,

        * ROTANDO, las PUNTAS DE LOS DEDOS de una mano contra la PALMA
           de la mano opuesta, y viceversa.

4. ENJUAGAR las manos con suficiente agua.

5. SECAR las manos, preferentemente con una toalla desechable.

10 de Abril de 2020

SOBRE LA FORMA DISCRETA DEL MODELO EPIDEMIOLÓGICO SIR

El modelo SIR consiste en considerar que los individuos de una población se contagian de un agente infeccioso a partir de la interacción directa entre ellos. Esto se representa mediante el siguiente esquema:

susceptibles (S) + infectados → infectados (I) → inmunes + fallecidos (R)

Las implicaciones probabilísticas de tales consideraciones llevan necesariamente al planteamiento de expresiones matemáticas que producen curvas características para dicho fenómeno. La manera en que se efectúan dichos cálculos puede ser continua (empleando ecuaciones diferenciales) o discreta (empleando sucesiones). Esta última forma presenta mayor precisión numérica y teórica que la continua y es sobre la cual se ahonda en el texto a continuación:

Sobre la forma discreta del modelo epidemiológico SIR

Esta exposición se ha efectuado a partir de la emergencia mundial debida a la CoViD-19 (coronavirus disease o enfermedad por coronavirus). Cabe señalar, muy a tono con el texto presentado, que seguir las medidas que eviten los contagios es fundamental para disminuir el desastre social que la enfermedad pueda representar. Para la CoViD-19 son:

1. Distanciamiento social
2. Frecuente lavado de manos
3. Evitar el contacto de las manos con el rostro
4. Evitar la dispersión de saliva en el aire
5. Limpiar las superficies de contacto comunes

Estas medidas son muy similares a aquellas que permiten prevenir el contagio por resfriado común. A título personal he comprobado que son realmente eficientes para los resfriados, logrando limitar el contagio en mi comunidad.

El distanciamiento implica no acudir a sitios muy concurridos, lo mismo que evitar los saludos de mano o de beso.

El lavado de las manos debe ser empleando la técnica apropiada, o en su defecto y sólo en caso de ser necesario, mediante la aplicación de gel antibacterial a base de alcohol (al 70% por lo menos).

Para evitar la dispersión de saliva en el aire cabe aplicar el correcto estornudo y tosido, es decir, sobre el ángulo interno del codo. Estando enfermo, resulta conveniente el uso de marcarillas o cubrebocas.

El contacto con el rostro, lo mismo que las medidas anteriores, evita no sólo enfermedades respiratorias producidas por virus, sino también otras como el acné. La limpieza de superficies como el teléfono o la computadora sirve también para eludir dichas enfermedades.

08 de Abril de 2020

SOBRE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LAS EPIDEMIAS SEGÚN LA ANALOGÍA DEL CONTAGIO RESPECTO A LA TEORÍA CINÉTICA

A partir de la teoría cinética que describe el comportamiento de las reacciones químicas a través del tiempo es posible generar una adaptación para la descripción de fenómenos poblacionales, tales como las epidemias. El texto a continuación aborda lo anterior.

Sobre la modelación matemática de las epidemias según

la analogía del contagio respecto a la teoría cinética

Esta exposición se ha efectuado a partir de la emergencia mundial debida a la CoViD-19 (coronavirus disease o enfermedad por coronavirus). Cabe señalar, muy a tono con el texto presentado, que seguir las medidas que eviten los contagios es fundamental para disminuir el desastre social que la enfermedad pueda representar. Para la CoViD-19 son:

1. Distanciamiento social
2. Frecuente lavado de manos
3. Evitar el contacto de las manos con el rostro
4. Evitar la dispersión de saliva en el aire
5. Limpiar las superficies de contacto comunes

Estas medidas son muy similares a aquellas que permiten prevenir el contagio por resfriado común. A título personal he comprobado que son realmente eficientes para los resfriados, logrando limitar el contagio en mi comunidad.

El distanciamiento implica no acudir a sitios muy concurridos, lo mismo que evitar los saludos de mano o de beso.

El lavado de las manos debe ser empleando la técnica apropiada, o en su defecto y sólo en caso de ser necesario, mediante la aplicación de gel antibacterial a base de alcohol (al 70% por lo menos).

Para evitar la dispersión de saliva en el aire cabe aplicar el correcto estornudo y tosido, es decir, sobre el ángulo interno del codo. Estando enfermo, resulta conveniente el uso de marcarillas o cubrebocas.

El contacto con el rostro, lo mismo que las medidas anteriores, evita no sólo enfermedades respiratorias producidas por virus, sino también otras como el acné. La limpieza de superficies como el teléfono o la computadora sirve también para eludir dichas enfermedades.

24 de Marzo de 2020

Sección 2 de la Licencia Pública General GNU

A continuación, una traducción no oficial al español del fragmento más crucial de la Licencia Pública General GNU. El carácter de esta traducción es únicamente orientativo, exhortándose acudir al fragmento original en caso de requerirse información más detallada al respecto.

Traducción

2. Permisos básicos de la Licencia Pública General GNU

Todos los derechos concedidos bajo está Licencia están cubiertos por el tiempo en que actúen sobre el Programa los derechos de autor, y son irrevocables una vez que se conocen las condiciones aquí presentadas. Esta Licencia confirma explícitamente su permiso ilimitado para correr el Programa tal cual se encuentre, sin modificaciones. Aquel producto generado de correr una obra cubierta está cubierto por esta Licencia sólo si el producto, dado su contenido, constituye una obra cubierta. Esta Licencia pone bajo aviso sus derechos sobre algún criterio de 'uso justo' o cualquier otro equivalente, tal y como se expresa en la ley de derechos de autor.

Usted puede hacer, correr y propagar sin condiciones obras cubiertas de las que usted no sea concesionario, por tanto tiempo como la licencia que usted posea permanezca vigente. Usted puede conceder obras a otras personas con el único propósito de hacer que éstas hagan modificaciones exclusivamente para usted, o que le provean de partes que le faciliten correr dichas obras, teniendo en cuenta que usted está de acuerdo con los términos de esta Licencia en cuanto a conceder todo material por el cual usted no tenga control de los derechos de autor. Aquellos que estén ya sea haciendo o corriendo las obras cubiertas para usted deben hacerlo exclusivamente bajo la observancia, dirección y control que usted disponga, de tal forma que usted les prohiba hacer cualesquiera copias del material con derechos de autor que a usted pertenezca, fuera de la relación que con usted exista.

La concesión bajo cualesquiera otras circunstancias está permitida únicamente bajo las condiciones que se muestran a continuación. No se permite someter esta licencia a otras licencias; la sección 10 vuelve innecesario esto.


Original

2. GNU General Public License Basic Permissions

All rights granted under this License are granted for the term of copyright on the Program, and are irrevocable provided the stated conditions are met.  This License explicitly affirms your unlimited permission to run the unmodified Program.  The output from running a covered work is covered by this License only if the output, given its content, constitutes a covered work.  This license acknowledges your rights of fair use or other equivalent, as provided by copyright law.

You may make, run and propagate covered works that you do not convey, without conditions so long as your license otherwise remains in force.  You may convey covered works to others for the sole purpose of having them make modifications exclusively for you, or provide you with facilities for running those works, provided that you comply with the terms of this License in conveying all material for which you do not control copyright.  Those thus making or running the covered works for you must do so exclusively on your behalf, under your direction and control, on terms that prohibit them from making any copies of
your copyrighted material outside their relationship with you.

Conveying under any other circumstances is permitted solely under the conditions stated below.  Sublicensing is not allowed; section 10 makes it unnecessary.

Nota adicional

Cabe considerar que la licencia está redactada para el caso de grandes proyectos de desarrollo de programas informáticos. Se refiere en cuanto a la "concesión de todo material por el cual no se tenga control de los derechos de autor" a que el autor de un programa en desarrollo tiene el control, orientado hacia la libertad de correr y distribuir el programa, de las creaciones que efectúen con relación al programa las personas a su cargo, y que éstas no pueden (como se indica en la sección 10 de la Licencia) litigar en torno a lo que han creado, con el objetivo de demandar los derechos de autor.

En resumen, la licencia permite reivindicar como tal al autor de un programa (de ahí que los derechos de autor siguen estando presentes incluso por encima de las personas que tiene a su cargo). Así mismo, el autor queda facultado con la licencia a permitir a otras personas el uso, distribución, modificación del programa si así lo creen conveniente, pero siempre respetando su autoría.

SOBRE EL USO DEL EDITOR DE TEXTO Vi

El editor de texto Vi puede utilizarse desde la terminal de comandos en los sistemas tipo Unix, sin la necesidad de emplear el cursor del "pad" del portátil, o del "ratón". Para ello basta con teclear "vi" en la terminal. Posteriormente, para iniciar con la introducción de texto, se debe teclear "i" y dar "ENTER".

A partir de ahí es posible teclear todo el texto que se desee. No obstante, existen características como el borrado de caracteres que no responden igual a como usualmente ocurre en los editores de texto típicos, lo mismo que con los procesadores de texto.

Si, por ejemplo, se desea borrar una letra, es necesario teclear "ESC" para que desde el llamado "modo regular" se introduzca el comando que permita hacerlo. Entonces, se teclea "x" para ver que efectivamente se ha borrado el caracter sobre el cual se encuentre situado el cursor.

Así ocurre con todas las funciones de la edición de texto, es decir, del "modo de inserción" que es el utilizado cuando se introduce texto se teclea "ESC" para volver al "modo regular" y así se puede introducir cualquier cosa que se desee para modificar el texto. Para volver al "modo de inserción" sólo basta con teclear "i", porque, de hecho, la inserción es parte de las funciones que se pueden llevar a cabo sobre un archivo de texto.

Una vez entendido lo anterior, es posible realizar lo que se desee. Para ello se cuenta con la siguiente lista de instrucciones que pueden introducirse desde el "modo regular" y así cambiar el texto como se requiera.

Lista 01. Instrucciones en el modo regular.

Gestión de archivo

i                    > ingresar al modo de inserción de texto
a                   > anexar texto a continuación del cursor
:file nombre  > asignar el nombre "nombre" al archivo de texto
:w                  > guardar las modificaciones hechas al texto
:q                   > salir del editor de texto
:q!                  > salir del editor de texto sin guardar modificaciones
:wq                 > salir del editor de texto guardando las modificaciones

Posicionamiento

h            > una posición hacia la izquierda
j             > una posición hacia abajo
k            > una posición hacia arriba
l             > una posición hacia la derecha
gg          > hasta el inicio del texto
G            > hasta el final del texto
b            > hasta el inicio de la palabra
e            > hasta el final de la palabra

:n+ENTER     > ir hasta la línea "n"
CTRL+g       > mostrar nombre del archivo, número de línea, número total de líneas, porcentaje del texto y número de columnas.
:=           > mostrar el número total de líneas
:.=          > mostrar el número de la línea donde se encuentra el cursor

Gestión de texto

x              > borrar el caracter donde se encuentre el cursor
dw           > borrar la palabra a continuación del cursor
dd           > borrar la línea a continuación del cursor

nx             > borrar los "n" caracteres a continuación del cursor
ndw          > borrar las "n" palabras a continuación del cursor
ndd          > borrar las "n" líneas a continuación del cursor

cw           > introducir texto desde la posición en que se encuentra el cursor
u             > deshacer la última modificación

:s/c1/c2     > cambiar la cadena de caracteres "c1" por la "c2" en la línea del cursor
:%s/c1/c2    > cambiar la cadena de caracteres "c1" por la "c2" en todo el texto
 
Gestión de memoria

nyy          > copiar las "n" líneas a continuación del cursor
ndd          > cortar las "n" líneas a continuación del cursor
p              > pegar aquello copiado o cortado

Si bien las instrucciones presentadas no son todas, al menos son las que contienen las acciones básicas. La relativa dificultad en el uso de este editor de texto radica en ingresar y salir constantemente del "modo de inserción" y del "modo regular", además de la memorización de los comandos presentados, sin embargo, una vez comprendida esta situación sólo es cuestión de unas cuantas líneas de práctica para llevarlo a cabo con suficiente soltura. Para mayores detalles en cuanto al uso de Vi, se recomienda leer V I M.

27 de Octubre de 2019

INDECIDIBILIDAD DE LA CONJETURA DE GOLDBACH (ESBOZO)

El siguiente es un esbozo sobre la demostración de la indecidibilidad de la conjetura de Goldbach (que no sea posible demostrarla ni cierta ni falsa).

Se conforma de tres etapas de razonamiento. La primera consiste en demostrar que los números primos no pueden calcularse inductivamente (no existe fórmula para calcularlos uno a uno de manera ordenada, con base en los números naturales).

La segunda etapa consiste en relacionar el resultado anterior con los requerimientos mínimos para que la conjetura de Goldbach sea demostrada.

La tercera etapa consiste en generalizar la indecidibilidad de la conjetura observada en la segunda etapa para todos los métodos de deducción potenciales.


*


Primera etapa:

Obsérvese un caso matemático usual, por ejemplo, n(i+1)=n(i)+(i+1) con n(1)=1. Con este esquema de secuencia es posible calcular n(i)=½•i•(i+1), que es la fórmula de inducción correspondiente. Esto es, que n(i) puede calcularse con una fórmula en función únicamente de i.

Si los números primos se calculan de manera suficiente (sin necesidad de otras definiciones) a partir de la criba de Eratóstenes, la determinación de n(i+1) que representa al primo i+1 depende no sólo de n(i) y una función j(i), sino también de n(i-1), n(i-2), etc. hasta n(1)=2.

Como sea un requisito fundamental para la inducción que n(i+1) sólo dependa de n(i) y una función j(i), queda demostrado que no es posible inducir los números primos, o sea, que no hay fórmula que permita calcularlos a partir sólo de su posición en el listado de primos.


*


Segunda etapa:

Demostrar la conjetura de Goldbach requiere de demostrar que existe una paridad (relación biunívoca) forzosa entre al menos algún primo desde 2 hasta n y algún primo desde n hasta 2•n-1.

Esto porque todos los pares 2•n mayores a 2, son susceptibles de descomponerse en la suma de dos números, el primero entre 1 y n, y el segundo entre n y 2•n-1. Dado que para la conjetura de Goldbach sólo son relevantes los casos de pares de sumandos primos, basta para demostrarla con saber que existe siempre al menos un par de primos, uno desde 2 hasta n y otro desde n hasta 2•n-1, que coinciden haciendo en suma el número 2•n.

Para establecer dicha coincidencia se debe hallar una fórmula (si existe) para calcular los primos entre 2 y n, y otra fórmula para hallar los primos entre n y 2•n-1. Esas fórmulas, para obtener una generalización, deben basarse en la posición que representan en el listado de los primos desde 2 hasta n, y desde n hasta 2•n-1.

Esas posiciones se relacionan en una función que permita el cálculo de los pares de primos coincidentes, tales que permitan calcular, sumados, un número par.

La cuestión es que los números primos no son inducibles en forma general (casos particulares son los polinomios que calculan primos) y por ello no es posible establecer un teorema sobre las condiciones que debe cumplir el par de primos respecto a la suma 2•n.

Entonces, por esta forma de análisis del problema, la conjetura de Goldbach resultaría indecidible, es decir, que la conjetura no es demostrable por medios matemáticos ni cierta ni falsa.

Y esto es así porque en la ausencia de una regla que relacione a los primos en cuestión con 2•n no es posible asegurar si siempre habrá primos que sean sus sumandos o no.


*


Tercera etapa:

La indecidibilidad es una propiedad que debe mantenerse para todos los métodos matemáticos, y no sólo para la propuesta de la etapa anterior.

Si no fuera así, se deducirían absurdos: que por unos métodos la conjetura sea, por decir, verdadera y por otros métodos indecidible. Debe quedar en todos los casos indecidible.

Así, sólo basta pensar que la Matemática es coherente en sí misma (aunque no pueda demostrarse matemáticamente) para deducir que la conjetura de Goldbach es indecidible para cualquier propuesta de razonamiento.


*


Nota: Esta demostración es válida siempre y cuando las reglas parciales de inducción para los primos no puedan relacionarse "en cadena" tal que terminen formando una regla general.

Sin embargo, eso es improbable: si la conjetura es así indecidible, también resulta indecidible saber si existen reglas parciales que en conjunto formen una regla general.

30 de Julio de 2016

GÖDEL

 

·

Feliz cumpleaños, Gödel,

porque sabiendo y, vivo,

pensando así, cautivo

do en forma tan creativa

pudiste a las razones

tener cuan recursivo;

porque soñando, esquivo,

te fiases de tu diva,

domando a ti intuiciones;

y todo aquello exhibo

lejano, y lo percibo

debido a que invasiva,

pensando en tus pasiones,

y axiomas, y elusivo

lo tanto que concibo,

remito en la misiva

perfidia en ilusiones

que indecidible cribo

y a tono, permisivo,

te dono en vía masiva.

27 de Abril de 2015

Nota:  La ö se lee intentando

pronunciar "o" y "u" a la vez.

 

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

«Yo, Joseph Raphson de Londres, admito y acuerdo para y con el Presidente, el Consejo y los miembros de la Real Sociedad de Londres la mejora del conocimiento sobre la Naturaleza»

·

Sea una función f(x) continua en todos sus puntos. Se busca de ella el valor de la raíz x = a, es decir, que se cumpla f(a) = 0.

Siendo para g(x) = x-a que g(a) = 0, es posible expresar lo siguiente:

1. lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x), por la regla de L'Hôpital (Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015) en virtud de que f(a) = 0, g(a) = 0 y tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

2. lím_x→a f(x)/(x-a) = lím_x→a f_x(x), porque g_x(x) = 1.

3. f(a+δ)/[(a+δ)-a]-ε = f_x(a+δ)-ε', calculando los límites representados en 2. [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]

4. f(x_k)/(x_k-x_k+1)-ε = f_x(x_k)-ε', si se representa x_k = a+δ y x_k+1 = a, estando x_k “antes” que x_k+1, de forma convencional.

5. x_k+1 = x_k-f(x_k)/[f_x(x_k)+ε-ε'], se deduce de la expresión en 4., observando dependiente x_k+1 de x_k.

6. x_k+1 = x_k-f(x_k)/f_x(x_k), porque aritméticamente nada impide que ε y ε' sean iguales con algún valor δ.

Esta última expresión indica la posibilidad de calcular un valor x_k+1 = a partiendo de otro x_k = a+δ distinto al primero. Sin embargo, se desconoce cuál sea el valor x_k que dirija inmediatamente el cálculo hacia x_k+1 = a, la raíz de f(x).

Por tal motivo se sugiere que siendo x_k+1 ≠ a, éste sea considerado como un nuevo x_k pretendiendo calcular finalmente x_k+1 = a.

Esto porque al existir el caso donde x_k permite calcular de forma inmediata x_k+1, se observaría la misma tendencia entre cualesquiera x_k y x_k+1 previos que no presentaran dicha característica, donde |x_k+1-a| sea menor que |x_k-a|, de manera sucesiva hasta que finalmente |x_k+1-a| = 0, el menor valor posible.

Ello es una suposición, no obstante, de ser cierta terminaría por garantizar que se logre observar el caso donde efectivamente x_k+1 = a. En otras palabras, porque la sugerencia permite obtener como conclusión la validez en la expresión en 6, es considerada también válida. Y porque existen pruebas sobre la veracidad de la suposición, se asumirá en adelante que es cierta en todos los casos, aunque existe la posibilidad de demostrar en qué casos no sea así, o bien, que efectivamente la sugerencia sea correcta en todos los casos donde f(x) sea continua en todos sus puntos.

Resumiendo: es posible calcular la raíz de una función f(x) continua en todos sus puntos, valiéndose de la expresión en 6., partiendo de un x₀ que permita calcular un x₁, luego de éste un x₂, y así sucesivamente hasta un x_k+1 = a, que sería la raíz buscada puesto que f(a) = 0. Esta secuencia de pasos es conocida como el método de Newton-Raphson.

·

Por ejemplo, se calculará el número π hallando una de las raíces de la función f(x) = sen(x), porque se sabe que sen(π) = 0. Así,

1. x_k+1 = x_k-sen(x_k)/cos(x_k), retomando la expresión en 6., siendo la derivada f_x(x) = cos(x) [La derivada de las funciones seno y coseno, 1 de Febrero de 2015]

2. x_k+1 = x_k-tan(x_k), porque la función tangente está dada convencionalmente como tan(x) = sen(x)/cos(x).

Se partirá de un valor x₀ = 3 para calcular x₁. Así se selecciona de entre la gran variedad de números reales porque se conoce de antemano que π ronda un valor aproximado de 3. Si se eligiera x₀ = 6, el resultado final sería otro, es decir, 2·π.

Esto porque la derivada es un límite que sólo describe el comportamiento de la función f(x) entorno a x por medio de x+h, y mientras h sea cada vez mayor (no cumpliéndose que h→0), la función será descrita deficientemente. [El teorema fundamental del Análisis, 16 de Julio de 2014]. Para el caso, la diferencia entre π (que se conoce aproximadamente como 3.14) y 6 es mucho mayor que la diferencia entre π y 3, y por ello es que x₀ = 3 permite calcular π, no así x₀ = 6.

3. x₁ = x₀-tan(x₀), o bien, x₁ = 3-tan(3) y queda x₁ = 3.14255. Nótese que inicialmente se ha calculado la primera aproximación dada de π como 3.14; sin embargo, no es el valor de la raíz buscada porque sen(3.14255) = -0.00095. Entonces se sigue con

4. x₂ = x₁-tan(x₁), o bien, x₂ = 3.14255-tan(3.14255) y queda calculado el valor x₁ = 3.14159. Porque sen(3.14159) = 0.00000, se dice encontrada la raíz siendo π = 3.14159.

Aquello es sólo de una estimación a 5 dígitos. Con 6 cifras decimales sen(3.14159) = 0.000003, lo cual muestra que el cálculo no es fundamentalmente correcto. Aun así es un valor aproximado aceptable siempre que se requiera conocer únicamente 5 cifras del número π.

Además, este ejemplo evidencia que la naturaleza del método es tal como se predijo.

Del 2 al 7 de Febrero de 2015

A las 00.05

LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.

Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+lím_h→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

+lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·0+1·lím_h→0 cos(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = lím_h→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.

∎

·

Teorema 2. La derivada de la función coseno

es el recíproco aditivo de la función seno.

Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-lím_h→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

 -lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·0-1·lím_h→0 sen(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = -lím_h→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.

∎

·

Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0.

Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = lím_h→0 -sen(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.

∎

·

Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple lím_h→0 sen(h)/h = 1.

Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 sen(h)/h = lím_h→0 cos(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.

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1 de Febrero de 2015,

a las 19.28