DEMOSTRACIÓN INDUCTIVA DEL TEOREMA DE GÖDEL

Téngase un sistema formal convencional tal que las sentencias A contengan una relación directa, formal, entre alguna sentencia válida del sistema en cuestión, que se supondrá consistente, y el objeto que le corresponde en el universo de un modelo cualquiera. El objeto correspondiente está compuesto por la colección de los objetos correspondientes a cada uno de sus símbolos (relatores, funtores, etc.)

Sea entonces un ejemplo de sentencia A:

Para toda F, R(F,M(F))

Donde F es cualquier sentencia, M(F) el objeto que le corresponde dado un modelo, y R(a,b) la estructura de la relación referida.

Así pues, asúmase que de todo el sistema formal se han constituido las sentencias A correspondientes a los axiomas, y que de allí se obtienen las sentencias A de los teoremas. Como el sistema formal asume como teoremas a todas las sentencias A, entonces cualquiera de ellas puede a su vez participar como una sentencia F y se constituiría una nueva sentencia A. Haciendo esto sucesivamente, se llega a sentencias A_n que poseen un objeto M(A_n) correspondiente. Luego, suponiendo que las sentencias A_n+1 son las últimas posibles de obtenerse, es decir, que se detiene la sucesión de sentencias A, las sentencias A_n+1 carecen de un objeto correspondiente M(A_n+1) porque de ser así se generaría forzosamente la obtención de sentencias A_n+2. Al carecer de tal objeto M(A_n+1), quedan indecidibles dichas sentencias verdaderas, porque no hay valoraciones que puedan aplicarse a ellas. Entonces se obtiene la primera conclusión:

I. En todo sistema formal consistente, se tienen como posibles teoremas sentencias indecidibles.

Del hecho que el sistema formal sugerido es consistente, pero imposible de corroborarse en todas sus sentencias se tiene la segunda conclusión:

II. Ningún sistema formal que sea consistente puede demostrar su propia consistencia. Todo sistema formal consistente es necesariamente incompleto.

Supóngase la existencia de una cantidad indefinida de sentencias A, tal que todas ellas posean un objeto M(A) correspondiente. Entonces el sistema queda completo (porque la hipótesis de la cantidad indefinida de sentencias A demuestra su completitud) y consistente, pero indecidible para algunas sentencias. Esto es, las sentencias A_j cuyo número j sea desconocido y que se presentan por la cantidad indefinida de sentencias, son indecidibles porque se las sabe verdaderas pero no deducibles verdaderas (a diferencia de las sentencias A_n+1 que fueron deducidas verdaderas a partir de una secuencia lógica, un razonamiento mecánico o sistemático).

En todo caso, los sistemas formales de utilidad tienen una cantidad definida de sentencias, por lo cual todos ellos pueden ser consistentes, aunque jamás completos ni tampoco decidibles.

Obsérvese que la consistencia de un sistema formal depende de que la sentencia «el sistema es consistente» o la sentencia «el sistema es inconsistente» sean indecidibles. De allí, que en particular la primera de ellas pueda ser parte del sistema, sin embargo sea indecidible necesariamente. Ésta sentencia sería del tipo A_n+1.

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Julio 2012